抽样技术自从1929年在美国贝尔电话实验室的两位统计学家道奇（Dodge），罗米格（Romig）提出以平均出货质量水平AOQL（Average Outgoing Quality Level）和批容许不良率LTPD（Lot Tolerance Percent Defective）为基础的抽样计划以来，抽样计划得到大力应用，后来军方和工业界广泛应用的是可接受质量水准AQL（Accepted Quality Level）的抽样计划。当今世界几乎可以说每个涉及产品检验的公司都在运用各种各样的抽样技术对产品质量进行抽样检验。所以抽样技术是全球最流行，运用最广泛的质量工具。

1 各种抽样技术的应用历程

现在是21世纪的生产和质量管理年代，虽然一些国际化大公司标榜取消产品质量检验，而用质量预防和质量改善等方法保证产品质量；虽然美国国防部的专家们认为AQL是一种通过检验发现问题的方法，更有效地方法是应用质量管理体系，持续改进以及良好的供方关系来做质量预防，因此在1996年推出了MIL-STD-1916的产品检验质量标准。但在工业界仍然有99%以上企业都还在用不同的抽样手法对产品质量进行出货管控，进料检验，甚至公司内部交货的产品检验。用得最广泛的方法是保证交货方的产品质量不良率小于某个比例就可以出货，这就是AQL方法。例如，当产品不良率小于1.5%时，在保证生产商大概有95%的概率的基础上可以出货，典型的代表有美国军标MIL-STD-105E，国际标准ISO2859，中国国标GB2828等。那么，当产品的不良率大于某个比例，产品的使用方接收产品的概率是否应该小于一定比例。答案是肯定的，例如当产品不良率大于5%，产品可接受的概率小于10%，这就是拒绝质量水准RQL（Rejected Quality Level），典型的抽样方案是道奇-罗米格（Dodge-Romig）发明的LTPD抽样方案。其实不管AQL还是RQL，都没有同时满足生产方和顾客方面的质量要求，只有出货产品平均质量水平AOQL才能同时满足生产方和顾客方面的质量要求，并且AOQL最大优点是能在确定的检验过程中使检验工作量减至最少，特别适合企业内部的检验工作。可惜平均检出质量上限AOQL抽样方案并不为大多数企业采纳，特别在中国基本没有介绍AOQL抽样技术的。除了这些抽样方案，业界流行的还有零接收数（C=0）抽样方案，这个方案对生产方很苛刻。

中国在1987年和2003年先后提出了1987版和2003版的GB2828抽样标准，基本原理都是来源于MIL-STD-105E。这个标准主要是针对连续批产品的抽检，从而保证通过抽检的产品质量水准。当采用某个接收质量水准比如AQL1.5连续抽检n批产品都合格，则下一步开始用放宽的抽样标准开始检验。当放宽的抽样标准检验有一批不合格，则马上回到正常检验。如果正常检验质量状况不好，则进入加严抽样标准。这样一来，对连续m（m≥１０）批产品进行逐批抽样检验，若接收了其中的k（k≤m）批，对于非破坏性实验，则高概率的有：

不管105E，还是GB2828，对于连续批而言可以采纳放宽、正常、加严三种抽样方案，从而用较低的检验成本保证出货批的产品质量。可是业界很少采取抽样方案转换的，基本都固定在一个正常的抽样方案，不管产品质量好坏。所以三种抽样方案的转换理论看起来很美，但实际用起来麻烦而被使用的较少。

对于孤立批的抽样，则不管用什么抽样方案都要考虑生产方和顾客方风险，画出抽样特性OC曲线，以评估不同质量水平的风险。

2 只会运用抽样检验表格能解决问题吗？

在相当一部分公司，很多质量和工程人员根本没有抽样检验的理论知识，只是知道怎么使用AQL的抽样表格，对为什么要选用AQL1.0，每个抽样方案的风险等抽样的理论并不了解，所以产生很多误会甚至笑话。

2.1 成事不足，败事有余

一个世界500强的公司一次接到客户投诉，内容是H产品的外观不良率达7.2%，QE工程师于是安排在公司内部的库存产品中抽取一整箱（340件/箱）产品并100%全检，结果发现不良率是6.2%。于是就怀疑FQC（Final Quality Control）检验人员在产品入库之前的检验工作失职，要求FQC加强检验，加强管理等等。于是FQC的人员就说，他们在抽检时发现不良品就批退让生产部重新全检，然后FQC再抽检，直至抽检的产品全部都是良品才能入库出货，因此客户投诉应该与他们无关。（注：当时的实际情况是，FQC对每一箱（340件/箱）按照AQL0.4/C=0的标准抽取48件，0收1退，简写为（48|0），当批产品共62箱，在有13箱不合格，批退率21%。）于是QE工程师和FQC检验员之间就为这个问题争论不止，长久以来为这样的问题争吵还造成了双方的互不信任。幸好这次他们找了一个精通统计的黑带做裁判。黑带了解了情况之后就说了，这可能是概率问题，并建议再抽取一箱进行全检。于是QE工程师和FQC就照办再多抽取1箱并全检，结果不良率是0.59%。为了验证是否有其他原因导致仓库某些箱的产品不良率很高以及客户投诉，FQC检验员和QE等单位建议继续做验证：共同100%全检两箱产品，然后入库24小时后再全检，看不同段的不良究竟是多少。结果如下，即使FQC和生产、QE工程单位三方对两箱产品进行全检之后入库（从而保证入库品全部为良品），静置24小时后再全检仍然发现不良品。这说明包装存在质量隐患，后来确实对该产品的包装材料进行修改，这种外观不良现象就消失了。

如果当时没有懂概率和抽样理论的黑带在场，可能很多人都会站在QE工程师的一边，不仅FQC员工被冤枉了，而且发现不了真正的质量问题所在。结果经过客观的数据分析和试验，发现质量问题是包装问题所致。下面就对上述概率现象进行剖析。

前面QE工程师接到顾客投诉后在仓库安排全检一批产品340件，21件不良，不良率6.2%，这是事实。假设也不存在包装问题导致入库后产生不良品，那为什么FQC在产品出货时用（48|0）没有查出来？是工作失误还是什么原因呢？我们先对这个过程用概率的语言综述一遍，对含有21件不良品的340件产品随机抽检48件，发现0个缺陷品的概率是多少？也就是对于这批不合格批产品，有多少概率被当作合格批出货？

答案：

下表是对当时抽检的情况进行的统计，总共抽检62批，有13批不合格批被判退，总体不良率是4495DPM（Defect Per Million），即0.4495%。咱们再对当时FQC在实际生产过程中实施的抽检情况用AQL和统计知识进行分析（备注：每箱产品用（48|0）抽检合格就可以通过，而顾客收到的不良率大于1%或者用MIL-STD-105E、水准Ⅱ、AQL0.65抽样判断不合格就可能会抱怨）。

所以从这个分析看出，抽检只是可以反映总体上的出货质量是某个水平，比如上面讲的这个例子中的整体出货质量水平是4495DPM，但不是说每箱产品都是4495DPM，这在前面已有论述，当不良率大于5%都可能流出去。那么经过抽检合格以及对抽检不合格产品进行全检之后的产品不良率是否还是4495DPM呢。不是了，因为13批不合格的产品要批退回去全部重新检查，假设这13批产品被全检后全都合格，那么出货的62批产品的平均不合格率AOQ（Average Outgoing Quality）是=((62-13)*0.4495%+13*0%)/62=0.3353%，即通过检验后的整体出货质量水平是3353DPM。但这里面可能还是有某箱产品的不良率比较高，比如10000DPM以上，如果恰巧这箱产品被客户抽检到，那么客户也会投诉。

2.2 偷鸡不成反折把米

某工厂想要节约检验成本，于是相关人员讨论一个更少检验样本量的检验方案以此减少QC人员。该工厂是用AQL0.4，C=0的“零缺陷”抽样方案，抽样对象是每个包装箱的产品。该工厂的过程不良率从0.1%到0.8%不等，“改善”前是对每个包装箱的产品实施检验。经过讨论，对不良率较高的产品改为每2箱产品实施一次检验，对于不良率很低的实施4箱产品做一次检验。于是，包装数量在140件以下的产品合二为一时的抽样方案及数量都不变，比如，以前每120件要抽32件，合二为一后每240件也同样检验32件，都是0接受，因此QC减少了一半的抽样数量。但超过140件后，超过250件后，根据C=0抽样方案，抽样数量就要从32增加到48，从32增加到73或者从48增加到73等。那么对于这样的改变，QC的总检验数量是增加了还是减少了？对出货产品的质量影响又有多大？要解决这些问题就必须利用前面讨论过的接受概率知识，ATI知识，AOQ知识等。假设一个包装箱有280件产品，从每箱一抽改为两箱一抽，那么抽样计划从(32|0，1) 改为(73|1，2)，分析前后出货产品质量和抽样数量的变化。下面笔者就用这些知识分析汇总在下面表格。从结果看出，改变抽样技术后，同样的产品出货批退率增加，总体抽样数量也增多了，检验成本反而增加了。因此，如果不熟悉抽样理论，凭经验和感觉选择抽样方案，那么胜算不多。

3 抽样统计推断

4 抽样理论

抽样理论一般是以计数抽样检查为主，因为在很多公司的计量主要以过程控制SPC等方法管控。计数抽样即判断合格/不合格为特征的抽样，例如常见的外观检查项目，结构检查项目；而计量抽样主要是可以量化的质量特性，如尺寸、拉拔力、电压、电流、重量等。而计量的质量特性管控主要在制程中用SPC/Cpk等管理，要求Cpk大于1，1.33甚至1.67（对应的合格率视正态分布的近似程度则分别约等于99.73%，99.994%，99.999%）。只要抽样的产品质量特性达到过程能力Cpk要求，总体的产品质量特性就是合格的。而电压、电流等电参数质量特性基本是在线100%测试，在出货前一般不做抽检，即使抽检也可以按照合格/不合格这样的计数抽样理论进行判断。因此这里主要介绍计数型抽样理论的一般原理：抽样方案与接收概率、抽样特性曲线、抽样检查的两类错误等。

4.1 抽样方案

进行抽样检查，首先要定出如何抽样，以及通过样本的检查结果判定产品批质量合格与否的规则，然后才能实施抽样检查。所谓的抽检方案就是关于从一批产品中应抽取的样本个数、各样本的容量以及根据样本检查结果对产品批做接收与否判定的规则。抽检方案是抽样检查的核心，它是抽样检查效果好坏的决定因素。因此，对抽检方案的研究是研究抽样检查的中心内容。

4.2 接收概率

所谓的接收概率是指批不合格品率为P的一批产品按给定的抽检方案检查后能判为合格批而被接收的概率。接收概率是不合格品率的函数，记为L（P）。由于对固定的一批产品用不同的抽检方案检查，其被接收的概率也不相同，因此，L（P）实质是抽检方案验收特性的表示，故又称L（P）为抽样特性曲线，它是我们进行抽样方案分析、比较和选择的依据。
在这里我们仅通过对一般的标准一次抽检方案的抽样特性函数的讨论，来说明抽样接收概率计算的一般方法。
标准型一次抽样检查的程序是：从产品批中抽取n个产品进行检查，把n个产品中检出的不合格品数d和判定数c进行比较。当d≤c时，判产品批为合格批；否则，当d>c时，判为不合格批。可见标准型一次抽检方案规定了两个参数，即样本的容量n和判定数c，故通常把它记为（n|c）。很显然，采用（n|c）检查时，产品批被接受的概率为样本不合格品数取值为0，1，2，……，c，共c+1种情况出现的概率之和。

根据概率论知识可知，从容量为N且其中有NP个不合格品的产品批中，随机地抽取n个产品为样本，则样本中不合格品数服从超几何分布的随机变量。若记该随机变量为X，则出现不合格品数为d的概率可由下式给出：

所以对某批产品采用（n|c）方案检查时，准确的接收概率是利用超几何分布来计算；当N≥10n时，多用二项分布的公式作计算，与超几何分布的结果相差不大。

4.3 抽样特性曲线

当用一个确定的抽检方案对产品批抽样检查时，产品批被接收的概率是随产品批的批不合格品率p变化而变化的，它们之间的关系可以用一条曲线来表示，这条曲线称为抽样特性曲线，简称为OC（Operating Curve）曲线，如下图所示。

针对每一个抽样方案都有一个唯一对应的抽样特性OC曲线。OC曲线在独立批抽样的时候特别需要研究，所以国标GB2828总共七十多页内容，差不多三十来页是OC曲线的列表。可惜，很少有企业和质量工程人员运用OC曲线。

下面是根据MIL-STD-105E水准Ⅱ，AQL0.4 的5个不同批量所选择的抽样方案。

对应每个抽样方案在不同不良率状况下的批接收概率。再根据每个抽样方案所对应的不良率和接收概率分别画一条OC曲线共五条，具体如下图。

从这五条抽样曲线，可以得出如下四个OC曲线的特性。

① 抽样特性曲线和抽样方案是一一对应关系，也就是说一个抽样方案对应一条OC曲线；相反，有一条抽样特性曲线，就有与之对应的一个抽检方案。

② OC曲线是一条通过（0，1）和（1，0）两点的连续曲线。

③ OC曲线是一条严格单调下降的函数曲线，即对于p1<p2，必有L（p1）>L（p2）。

④ c减小，OC曲线离理想曲线偏离越远，对生产方风险AQL方案加严，对消费者方风险RQL放松。

4.4 抽样检验所犯的两类错误

设一批产品中有10000件，我们定义不合格品率不得超过百分之一点五（p1=1.5％），即AQL1.5。当一批产品的不合格品率没有超过1.5%时，我们称它为合格批；当一批产品的不合格品率超过1.5%时，我们称它为不合格批。

l 如果该批产品中有１０件不合格品，（D =10），其不合格品率的真值为0.1％，那么，它是合格批。假设我们选用（8|0）抽样方案，在这批产品中抽取8件，有可能抽到不合格品，就判该批不合格。但是此批明明是合格的，抽样检验判断它为不合格，抽样检验判错了，这个错误称为第一类错误，也称为弃真错误。犯弃真错误的概率称为弃真概率，记为a。第一类错误的概率公式是：

l 如果该批产品中有200件不合格品( D = 200 )，其不合格品率的真值为百分之二（p =2％），那么，它是不合格批。假设我们还是选用（8|0）抽样方案，在这批产品中抽取8件，有可能抽到的都是合格品，就判该批合格。此批明明是不合格的，抽样检验判断它为合格，抽样检验判错了，这个错误称为第二类错误，也称为存伪错误。犯存伪错误的概率称为存伪概率，记为β。犯第二类错误的概率公式是：

上述a和β的公式是超几何分布的公式，可以用二项分布的公式取代。在生产方与使用方的验收抽样检验中，犯弃真错误对生产方是不利的，称为生产方风险。犯存伪错误对使用方是不利的，存伪错误的概率称为使用方风险。

4.5 百分比抽样和C=0抽样方案的不合理性

中国还有部分企业在抽样检查时仍沿用百分比抽检法，所谓百分比抽检法，就是不论产品的批量大小，都规定相同的判定数，而样本也是按照相同的比例从产品批中抽取。即如果仍用c表示判定数，用k表示抽样比例系数，则抽样方案随交检批的批量变化而变化，可以表示为（kN|c）。通过OC曲线与抽样方案变化的关系很容易弄清楚百分比抽检的不合理性。因为，对一种产品进行质量检查，不论交检产品批的批量大小，都应采取宽严程度基本相同的方案。但是采用百分比抽检时，不改变判定数c，只根据批量不同改变样本容量n，因而对批量不同的产品批采用的方案的宽严程度明显不同，批量大则严，批量小则宽，故很不合理。百分比抽检实际是一种直觉的经验做法，没有科学依据。

对应百分比抽样的还有C=0的抽样技术，这个方法在汽车相关产业及某些IT制造业还比较普遍。C=0随着批量大小不同抽样不同数量，但都是C=0。下表就是用AQL0.4，C=0的抽样方案在不同良率下的产品允收概率。从结果看来，同样在0.4%的不良率的品质状况下，不同批量采用不同的抽样数，结果是产品的接受概率相差20%还多。这在105E或者GB2828的抽样方案里都是不会发生的。

因此C=0的抽样方案也是非常不合理的。所以为了提高抽样判断的准确性，即使在使用105E或GB2828方法遇到（n|0）的抽样方案，都建议选用下一个允收数不为0的方案（m|1）代替。在众多抽样方案中，对同一个AQL值，抽样数越多的方案越理想，但考虑检验成本也不必追求准确性高的检验方案。

5 抽样知识再迈一步

5.1 AOQ，AOQL，ATI抽样知识

对于某批总量为N的产品，不合格率是p，采用（n|c）的抽样方案可通过检验的概率是Pa，即该批产品用（n|c）抽样方案检验被判为合格批地概率是Pa。那么此批产品出货的质量水平是多少呢？下面我们演算一下。

要计算此批产品的平均出货质量水平AOQ（Average Outgoing Quality）,我们假设有100批这样的产品。则任何一批随机抽取的n件产品要么没有不良品；要么有x件不良品，但这些x件不良品被检查出来都会被换成良品，因此所抽样的n件产品最后都确保是良品。每一批通过抽样检验（即抽样的不良数小于等于可接收数）的概率是Pa，那么100批就可以通过100*Pa批，这样这100批共有不良品(N-n)*p*(100*Pa)；每一批都有1-Pa的概率通不过检验，通不过检验的产品需要全数重检，重检之后就没有不良品。所以100批这样的产品的AOQ=[(N-n)*p*(100*Pa)+（1-Pa）*0]/(100*N)。当N远大于n时，AOQ近似等于p*Pa。

采用同一个抽样方案检验不同不合格率的产品批，出货质量AOQ不同。因此，同样的抽样方案对应每一个不合格率有一个AOQ值，这样就形成一条AOQ曲线。当不合格率开始上升，AOQ上升，当不合格率增大到一定程度，因为批退后进行全部检查反而降低了AOQ。所以在这些不同的不合格率对应的AOQ中有一个最大的AOQ极限，这就是平均出货质量水准极限AOQL（Average Outgoing Quality Limit）。

比如有一批数量是2500的铅笔，采用抽样方案（50|1,2）进行抽样。那么可以根据AOQ公式计算不同不合格率的出货质量，并找到AOQL。如下图所示，如果此批铅笔的不良率是1%，那么AOQ是0.9%；当不良率是2%，AOQ是1.5%；当不良率在3.2%时，AOQ是1.6997%，也是该抽样方案(50|1,2)在所有不良率的最大的平均出货不良率，即AOQL。

ATI，平均检验量，是Average Total Inspection的英文缩写。对于某批总量为N的产品，不合格率是p，采用(n|c)的抽样方案可通过的概率是Pa。那么平均检验量ATI=n*Pa+N(1-Pa)。ATI也是某个抽样方案对应不同不合格率p的函数。同样举上面批量为2500支铅笔的抽样检验的案例，根据不同的不合格率对应一个ATI，这样画出一条圆滑的ATI曲线。

5.2 道奇-罗米格（Dodge-Romig）抽样方案AOQL和LTPD

如前面所述，每一个抽样方案都对应一个AOQL，例如抽样方案（50|1，2）对应的AOQL是1.7%。但对于同样AOQL，有不同的抽样方案，如下图4个抽样方案的AOQL都接近2%，那么，如何选择抽样方案呢?

举一个例子加以说明。比如一个包装批量为500件的塑胶产品，要确保AOQL是2%，也就是说不管每个包装批量的不良率是多少，通过AOQL抽样检验后的批质量不良率要小于2%，怎样选择AOQL抽样方案。如下图，抽样方案（18|0，1），（42|1，2），（70|2，3），（65|2，4）等方案都可以满足AOQL是2%的要求，当然还有很多抽样方案都可以满足这个要求。但最后选择哪个抽样方案呢？

首先，我们看看AOQL抽样技术的流程。

① 决定抽样批量N，AOQL值，以及不良率p（说明：在使用AQL标准105E或者GB2828的抽样技术时不需要估计不良率p；而在使用AOQL或者LTPD抽样技术时估计不良率p的目的是为了评估最小的ATI。）

② 根据批量N，出货质量限AOQL，以及过程平均不良率p，从满足AOQL的抽样方案中选取平均检验数量ATI最少的抽样方案就是AOQL所选用的抽样方案。

③ 根据所选的AOQL抽样方案计算对应的LTPD值。

根据以上流程，道奇和罗米格设计了AOQL抽样表格，如下图所示。假设某批产品的批量是401-500件，为保证AOQL是2%，当产品的不良率范围处于0-2%的时候，会有三种不同的抽样方案：

l 不良率处于0-0.04%以及0.05-0.40%时，采用抽样方案（18|0，1）；接受风险为10%的LTPD是11.9%。

l 不良率是0.41-0.80%以及0.81-1.20%时，采用抽样方案（39|1，2）；接受风险为10%的LTPD是9.8%。

l 不良率是1.21-1.60%以及1.61-2.00%时，采用抽样方案（60|2，3）；接受风险为10%的LTPD是8.6%。

为什么要这样选择抽样方案呢？根据前面ATI的公式计算分析发现，当可以同时保证AOQL是2%的抽样方案中，假设500件产品的抽样。那么对应不良率（0-0.4）选择抽样方案(18|0,1)，不良率（0.4-1.2）选择(39|1,2)，不良率（1.2-2.0）选择(60|2,3)可以保证最少的平均检验数量ATI,这就是AOQL的选择依据。下表是笔者对于不同不良率采用不同抽样方案所对应的ATI的演算结果。

同样的道理也应用在LTPD抽样方案上。因为中国很少有AOQL和LTPD知识的介绍，所以下面也给一个LTPD抽样方案表给大家做一个参考。同样每个LTPD抽样方案对应一个AOQL值。

6 运用抽样检查的注意事项

虽然抽样检查存在各种风险，但为什么还要用抽样检查？显然抽样检查成本低，另外，在破坏性检验项目中也只能用抽样检查。那是否只要是因为成本考虑的非破坏性检验都可以考虑抽样检查呢？也不是。抽样检验必须满足产品的制造过程是稳定的、受控的。对应于统计过程控制来说，就是过程都必须是处于受控状态，没有特殊原因造成的不良品，这样所抽样的产品才有代表性，那么抽样产品的质量就可以代表整体质量。

如下面两个过程，对于第一张控制图“Reject”所示过程的产品，用抽样检验就可能存在误判——合格的产品被拒绝，因为有三个点的不良率很大，抽样到这些时间短的产品的不良率可能偏大，但实际上整体的不良率没有那么高。对于第二张控制图“拒收数”所示过程的产品，过程基本上受控，产品一致性较好，抽样检验的代表性较好。

当然，很多公司没有严格去判断过程是否稳定就直接用抽样检验，这样导致存在一定的质量风险。

其次，当存在随机误差时，样本质量指标不一定等于总体质量指标，主要表现在以下两个方面：

① 样本不合格品率不一定等于总体不合格品率。这是品质部和使用品质部检验合格的产品的部门经常闹矛盾的地方，比如某大型公司内部的塑胶产品直接交给电子组装线使用，该塑胶产品去组装线之前需要经过QC的检查。偶尔都会出现这种情况，明明QC检验合格的产品，但电子组装线常常抱怨塑胶产品的不良率过高。于是这两个部门之间就产生摩擦，如果品质部经理能够把抽样的理论解释给相关单位，让他们明白这些差异的道理，我想，使用部门也不会故意找茬，对吧。

② 某质量特性的样本平均值不一定等于该质量特性的总体平均值。

最后需要注意的是，抽样检验不能保证被接收的总体中的每件产品都是合格品。

7 产品质量之外的工作质量同样需要抽样检查

对产品进行抽样检验好像是天经地义的事，其实对工作也需要运用抽样检查的道理进行检查。特别是上级检查下级的工作，上级不可能时时刻刻都盯着下属工作，因此就需要懂得抽样检查的道理。

当然，对下属工作的抽样检查主要应用在工作过程中，因为对结果的检查应该是100%的全检。有的主管会说，我只重视结果，不注重过程。笔者认为，那是有前提条件的：那就是下属的主动性和自觉性很强，工作能力也很强。但是，中国企业，这样的下属很少，好多这样的下属要么当领导去了，要么跳到外资企业去拿高薪去了，而中国众多中小型企业的员工包括工程师、业务员、文秘等都需要领导的指导。正因为你不能100%全程指导，所以才需要你做好对过程的抽样检查，以便过程监控和指导。就像统计过程那样，对过程能力高的过程，可以取消做SPC的过程抽样和监控；对过程能力高但还不能撒手不管的，每4小时甚至8小时抽样一次做监控；对能力再低的，要重点改善。