机械系统振动参数主要是指系统的固有频率、阻尼比和振型等固有特性。实际上一个机械系统的振动模型都是多自由度的，所以也具有多个固有频率，对应的在频响曲线上会出现多个“共振峰”。不同的激振方式和不同的测点，都不会改变这些固有特性。由机械振动理论知道，对于多自由度线性系统，利用正交矩阵（振型向量）变换，可以将其变为模态坐标下相互独立的一组单自由度来处理，而在原物理坐标下的多自由度系统任一测点的振动响应，则可表示为模态坐标下各单自由度系统响应的叠加。对于小阻尼系统，在某一个固有频率附近与其对应的振动响应占叠加和的主要成分。以下主要讨论单自由度振动的参数估计，以及用于参数估计的一种方法——机械导纳方法与应用。它是一种理论分析与试验相结合的动态分析方法。

 

顺便提及，表征这些固有特性的参数（系统的各阶固有频率、阻尼比及振型等）又称为模态参数，为获取这些参数所采取的方法也叫模态分析技术。

 

机械导纳测试

 

将机械导纳定义为运动响应与激振力的拉普拉斯变换之比，当然也可以定义为两者傅里叶变换之比。将机械导纳的倒数称为机械阻抗。可见机械导纳与传递函数是相互融合的。因为振动响应有位移x(t )、速度v(t )和加速度a(t )三种，令X(s )、V(s )和A(s )分别为x(t )、v(t )和a(t )的拉普拉斯变换，f(s )为激振力f(t )的拉普拉斯变换，则机械导纳和机械阻抗可用以下六个参数来描述：

 

位移导纳：

 

 

速度导纳：

 

 

加速度导纳：

 

 

位移阻抗：

 

 

速度阻抗：

 

 

加速度阻抗：

 

 

位移导纳和位移阻抗又分别称为动柔度和动刚度；速度导纳和速度阻抗又称机械导纳和机械阻抗；加速度导纳又称机械惯性，加速度阻抗谓之动态质量。

 

在分析人体对于振动的敏感程度时，试验表明，人体对横向振动的敏感度最大，纵向振动次之，垂向振动的影响最小。对于中低频振动 (12Hz以下)，人体的敏感度主要取决于加速度导纳及其导纳的变化率，对于频率较高的振动 (12~60Hz)，其敏感度主要与速度导纳有关。在评价结构的抗振能力时则常用动刚度，在共振区动刚度仅为静刚度的几分之一甚至十几分之一。在研究振动引起的结构疲劳损伤时，常用机械惯性指标。

 

机械导纳（或机械阻抗）的测试可由以下几个途径来实现：

 

(1) 对被测对象施加简谐激振

 

利用响应图片与激励图片之间的幅值比和相位差，直接确定该系统的导纳或阻抗，如位移导纳为

 

 

同理可求得其它导纳或阻抗。其测试结果可由图1所示的数字信号分析仪来完成。

 

 

 

图1 用数字信号分析仪进行振动参数测量框图

 

(2) 对被测系统进行瞬态或随机激振

 

利用频响函数H(jω)=X(jω))/F(jω)，直接测取输入与输出的傅里叶变换之比而获得。不过为了减少随机噪声和其它干扰的影响，提高分析精度，常通过以下关系来获取

 

 

测试系统如图1所示。它以FFT分析仪为主机，由敲击锤（或由随机信号发生器控制的激振器）上的力信号（激励）和试件的加速度信号（响应）经放大后送入FFT分析仪运算处理，获得所需要的机械阻抗数据。

 

固有频率和阻尼比的测试

 

测试与识别系统固有频率和阻尼比等振动参数的方法很多，习惯上将它们分为时域法和频域法两大类。时域法是，根据结构的瞬态激振响应曲线或数据来识别出所需要的振动参数；频域法则是，利用振动试验得到的频响函数或机械导纳的特性曲线或数据作为已知条件，从中识别出所需要的参数。本节重点介绍常用的自由振动法（瞬态激振）和共振法（稳态正弦激振）。

 

1自由振动法

对于图2a所示的单自由度系统，若给以初始的瞬态激振，如初始速度dz(0)/dt或初始位移z(0)，则系统将在阻尼影响下作衰减的自由振动。有阻尼自由振动曲线如图2b所示，其表达式为

 

 

 

式中，ωd=ωn√1-ξ² 为有阻尼自由振动的圆频率。

 

 

图2 有阻尼自由振动曲线

 

根据阻尼自由振动的记录曲线，阻尼比ξ 可由曲线上相邻峰值的衰减比值来确定。即

 

 

其中，δn=lnMi/Mi+1。通过记录曲线上的时标可以确定出周期T，从而可得ωd=2π/T，因此系统的固有频率ωn 为

 

 

 

当阻尼很小时，可近似地取ωn=ωd=2π/T。例如ξ=0.3时，ωn 与ωd 相差不到5%。

 

2共振法

 

对于受迫振动的单自由度系统，当激振频率接近系统固有频率时，振动响应就会显著增加。借助位移导纳的幅、相特性曲线可以用下述方法分别进行参数估计。

 

 

(1) 利用幅频曲线进行估计

 

当对系统进行正弦扫描激振时，其振动能量在共振点处达到最大值，如图3所示。幅值最大处的频率为位移共振频率ωr，已知ωr=ωn√1-2ξ ²。在小阻尼时，可以直接用共振峰对应的频率ωr 近似估计固有频率ωn，即ωn≈ωr，由位移幅频特性表达式可知，当ω=ωn 时

 

 

将以下两式

 

 

 

分别代入位移幅频特性表达式得

 

 

即

 

 

对应在对数坐标中幅值下降3dB之处（半功率点），由此可求得阻尼比ξ  的估计值为

 

 

 

式中，Δω 称为半功率带宽。

 

 

 

图3 由位移幅频曲线估计阻尼比

 

(2) 利用相频曲线进行估计

 

不管阻尼比ξ 为何值，当激振频率和固有频率相同时，位移的相角滞后总是90°。因此，通过所测得的相频曲线，可以直接确定出系统的固有频率ωn。从所测得的相频曲线亦可确定出阻尼比ξ。因为由相频特性

 

 

令η=ω/ωn，则

 

 

当ω=ωn，η=1时

 

 

因此，由所测相频曲线求得ω=ωn 处的斜率就可以直接估算出阻尼比ξ 。

 

用相频曲线估计固有频率和阻尼比简捷而又准确，但是相角测量比幅值测量要复杂一些。

 

(3) 根据位移响应的虚、实部频率特性进行估算

 

将单自由度系统的频率响应函数（位移导纳）

 

 

分解为实部分量ReH(jω) 和虚部分量ImH(jω)，即

 

 

 

其图形分别如图4和图5所示。

 

 

图4 实频曲线

 

 

图5 虚频曲线

 

由虚、实部的表达式和图形可见：

 

在η=1，即ω=ωn 处，实部为零，虚部为-1/2ξK，接近最小值。由此可以确定出系统的固有频率ωn；

 

在η1=√1-2ξ≈1-ξ 和η2=√1+2ξ≈1+ξ 处，实频曲线分别取得最大值和最小值，因此不难从曲线的峰谷之间距确定出系统的阻尼比为

 

 

 

式中，η1=ω1/ωn；η2=ω2/ωn；ω1 与ω2 为实频的极值频率。

 

 

 

在虚频曲线上与η1 和η2 对应的值非常接近1/4ξK，因此在虚频曲线上按峰值 (1/2ξK) 的一半作水平线，截得曲线横坐标间距约为2ξ，从而可近似估计出系统的阻尼比ξ，其表达式与上式相同。

 

 

 

由以上分析看出，虚、实频曲线都包含有幅值和相位信息，而且虚频曲线具有坡陡峰峭的特点，因此较之幅频、实频等曲线能提供更精确的参数估算值，尤其在研究多自由度系统时，其优点更为突出。

 

(4) 利用幅相特性曲线（矢端图）进行估计

 

幅相特性曲线，也称为奈奎斯特图 (Nyquist)。它是当频率ω 从零变化到无穷大时，表示在极坐标上幅值与相位差的关系图。因此，它是频响函数的矢端曲线。

 

单自由度系统位移导纳的奈奎斯特曲线可由

 

 

导出为

 

 

 

当η→1，即ω→ωn 时，其方程变为

 

 

就是说，在ωn 附近位移导纳的矢端曲线趋于一个圆，其圆心为(0,-1/4ξK )，半径为1/4ξK。位移导纳圆具有以下特点，如图6所示。

 

 

图6 单自由度系统的矢端图

 

ω=0时，ReH(jω)=1/k，ImH(jω)=0，即在导纳圆上有缺口；

 

η=ω/ωn=1时，ReH(jω)=0，ImH(jω)=-1/2ξk，即曲线与虚轴的交点对应着ω=ωn，由此确定出固有频率。还需指出，在固有频率处曲线弧长对频率的变化率ds|dω 最大。这样若用等频率间隔去抽样被测数据或分析幅相曲线、则由Δs|Δω 的极大值即可确定出固有频率。这一概念对多自由度系统确定ωn 十分有用。

 

ω→∞时，ReH(jω) →0，ImH(jω)→0。

 

由图6所示，A(ω1)=A(ω2)=OM/√2=A(ωn)/√2，所以与OM 垂直的直径ab 两端的ω1 与ω2 对应着半功率点，故满足ξ=ω2-ω1/2ωn。

 

上面所述均为位移导纳的幅频、相频、实频、虚频乃至奈奎斯特图，也可以根据需要作出速度、加速度导纳图以及阻抗图，可参阅有关文献。在具体测试中，FFT数字分析仪可以做出上述各种特性曲线。