疲劳相关的研究早在19世纪就开始了，起因于导致火车事故的铁路轮轴断裂问题。旋转轴上，应力从拉应力变化到压应力再变回到拉应力，一个周期内会发生变化。由于其载荷是单轴和比例关系，载荷是比较简单的。可以使用S-N曲线或Wöhler曲线来评估疲劳寿命，该曲线将应力幅值与构件寿命相关联。但在许多应用中，我们处理的是多轴和非比例负载。在这种情况下，S-N曲线不足以预测疲劳。早在1959年，Findley首次提出了临界平面方法的概念，临界平面模型检查空间中不同方向上的应力状态，因此可以考虑一些多轴和非比例载荷影响。由于它们可以准确地预测许多结构应用中的疲劳失效现象，所以已在工程界得到广泛接受。
关于临界平面模型，其背后的理念是疲劳失效是由裂纹引起的。裂纹将在一个平面上形成并扩展，即临界平面，该平面具有最有利的应力/应变条件，适合于裂纹的增长、传播。通常经受最高正应力和应变的平面是临界平面的好候选者。
图1 不同平面应力状态
结构体中某一点的应力状态可以用一个二维张量来描述，其中包括三个法向应力分量和三个剪切应力分量。一旦检查的体积元素朝不同方向定向，这些应力的大小就会改变。这意味着如果我们沿着某个平面切割一个体积元素并在新建立的平面上评估应力，其应力状态将取决于该平面的定向。在平面应变的情况下，应力状态会被简化为两个法向应力和一个剪切应力，并且这些应力也将根据表面法线方向而异。了解应力是如何在结构体中分布并在各种条件下如何变化非常重要，因为它会影响结构体的整体稳定性和行为。
对于平面应力条件，可以使用解析表达式得到关键平面。当负载非比例且应力状态为多轴时，情况变得更具有挑战性。我们必须通过数值方法在每个检查平面方向上搜索关键平面并评估负载历史。在疲劳模块中，使用基于应力和基于应变的模型来进行评估。
图2 疲劳评估使用临界平面准则：法向应力、Findley和Matake
常用的评估疲劳的模型：基于临界平面准则的法向应力、Findley和Matake。这些根据失效安全理念进行评估，计算疲劳因子，以确定经历的疲劳负载是高于还是低于疲劳极限。这些模型的材料参数可以从标准疲劳试验的结果轻松计算出来。通常在高周疲劳领域中，会使用基于应力的模型，其中塑性应变非常有限。
基于应变的模型根据定义关键平面时的应变或应变和应力的组合来进行评估。这些模型可以看作是一种改进的、结合了Basquin和Coffin-Manson应变寿命关系的模型，并能预测失效的循环数。在疲劳模块中，有三个基于应变的模型：Smith-Watson-Topper（SWT）、Wang-Brown和Fatemi-Socie。这些模型通常适用于应变较大的低周疲劳。
Smith-Watson-Topper 模型。Socie 对 SmithWatson-Topper 模型进行修正，定义最大正应变 幅平面为临界平面。该模型认为在多轴情况 下，最大法向应力 与最大正应变幅 的 乘积是一个合理的损伤参量，表达式为：
Wang-Brown 模型。Wang 等考虑平均应力 影响，引入法向应变变程 提出以下寿命估算 模型：
其中：S 为材料常数，A=(1+v_e )+(1-v_e )S ，B=(1+v_p )+(1-v_p )S，S 值缺乏时可取为 0.3；σ_nm是临界平 面上的法向平均应力。
Fatemi-Socie 模型。Fatemi 等认为合适 的损伤参量应同时考虑正应力和剪应变的影响， 提出以下模型：
其中：∆γmax、σn,max 分别为临界平面上的最大剪应 变范围和最大法向应力，σy 是屈服强度，G 是剪切 模量，σn,max 考虑非比例加载所引起的附加硬化的 影响，材料参数 k 反映不同材料的正应力对疲劳 寿命影响的敏感程度，k 值缺乏时可取为 1。τ'f 和 γ'f 分别为剪切疲劳强度系数和剪切疲劳延性系 数，b0 和 c0 分别为剪切疲劳强度指数和剪切疲劳 延性指数。
