对压力容器进行有限元分析主要有三种方法，分别是：弹性应力分析法、极限载荷法和弹塑性分析法。弹性应力分析法是分析设计中最常用、最简单的方法。该方法是将有限元分析得到的总应力场分解成规范中定义的各类应力，并将其限制于各自的许用条件之下。应力分类是分析设计中的重要环节，在分析压力容器沿壁厚方向的应力分布时，如何区分一次应力、二次应力和峰值应力是分析设计中的难点。目前，常采用等效线性化方法对有限元应力分析结果进行应力分类，但该方法并没有将一、二次应力区分出来。在一次结构中由等效线性化方法求得的全部薄膜应力和线性弯曲应力都是一次应力，因为它们满足与外载相平衡的条件；而非线性分布应力则属于峰值应力。一般来说，一次结构的变形并不满足连续条件。本文介绍了如何利用一次结构法区分一次应力与二次应力。

一、一次结构法

01 原始结构的应力分析

取原始结构为一次结构，用有限元法计算其总应力场。沿设计者指定的若干应力分类线将总应力分解成总体薄膜应力、局部薄膜应力、线性弯曲应力和非线性分布应力，并分别将它们归入Pm、PL、Pb和F。若各类应力都小于相应的应力强度极限，则设计是可行的，但往往是保守的。

02构造一次结构

若第一步中最大的PL+Pb已超过1.5Sm（或PL+Pb+F已超过Sa），或希望减少保守性，则可将由总体结构不连续引起的较高的弯曲应力归入二次应力。切开最大PL+Pb的作用截面，解除相应的弯曲约束或同时解除径向位移约束，若得到一个合理的一次结构，则上述PL+Pb可归入二次应力。若简化后的结构变成可动机构，则表明被解除的是基本约束，应该保留；或者若简化结构中的最大一次应力比原始结构更大，则解除的有利约束也应保留。

03一次结构的应力分析和优化

用有限元法计算一次结构中的应力场，并用等效线性化法进行应力分解（与第1点类似）。基于这些分析，从一次应力水平、费用、材料供应、加工条件等考虑，选择一种最佳一次结构。

04原始结构的应力分类

原始结构的一次总体、一次局部薄膜应力和一次弯曲应力之和就等于一次结构的应力分析和优化中选出的最佳一次结构中的相应应力。

将原始结构的总应力减去一次结构中的一次应力就得到自限应力，其中薄膜和线性弯曲应力是二次应力，非线性分布应力是峰值应力。若存在热载荷，建议分别计算热应力和机械应力。热应力一般都属于自限应力。在高温工况下，由热膨胀引起的管系对容器的推力因存在弹性随从效应而被视为弹簧引起的机械载荷，相应应力归入一次应力。

05应力评定

一旦按上述步骤完成了应力分类，根据标准规范中给定的各类应力强度许用极值，进行应力评定。

二、典型实例

     应用一次结构法的典型实例有固支圆板、带平盖封头的筒体。对于固支圆板，如图1所示。我们可以取其本身作为一次结构，将周边处弯矩MBC对应的最大弯矩应力归入一次弯曲应力，这时二次应力为零。第二种分解方案是将MBC的弯曲应力归入二次应力，解除相应的多余约束，取简支圆板为一次结构，这时最大一次弯曲应力是简支板中心弯矩MAS对应的弯曲应力。第三种方案是只计算固支圆板的总应力场，将固支圆板中心弯矩MCA对应的弯曲应力指定为最大一次弯曲应力，将周边弯矩MBC的应力归入二次应力。

图1 圆板约束

     结论是：第一种应力分解方案是合理且最佳的，第二种方案是合理但保守的，第三种方案是错误且不安全的。

图2 带平盖封头的圆筒的一次结构

     对于带平盖封头的筒体，如图2所示。先介绍三种合理的一次结构：

01

取原始结构为一次结构，封头和筒体中的全部薄膜和线性弯曲应力都是一次应力，采用对应于一次应力强度的极限值来评定。

02

将连接处B的弯曲应力归入二次应力，解除B处对转角和径向位移的连续要求，取薄膜应力状态下的筒体和简支平封头作为一次结构，见图2b。

03

将连接处B的弯曲应力归入二次应力，仅解除B处对转角的连续要求，该一次结构小于图2c。这时B处将出现横剪力。

      比较3种方案，B处封头与筒体的连接对封头来说是有利约束，而对筒体是不利约束。第二种方案中筒体的一次应力最小，但平封头的一次应力最大，若设计者希望选用薄筒体，这是最佳方案。若设计者从材料供应或加工条件考虑希望尽量减薄封头厚度，则第一种方案是最佳方案。第三种方案则是封头与筒体厚度均介于中间的方案，因为B处的径向位移连续要求对封头是有利的而对筒体则稍有不利。如果这3个方案中的任意一个能满足规范规定的各类应力强度极限，则设计是可行的。

      下面是两种不安全的错误方案：

1

仅计算原始结构中的应力场，然后人为指定筒体在连接处B的弯曲应力为二次应力，封头中心处A的弯曲应力为一次弯曲应力。事实上，当筒体截面完全进入塑性时，所能提供的最大弯矩也只是塑性极限弯矩，与它相应的弹性计算表面弯曲应力只有2.25Sm。但若按二次应力评定，B处弯曲应力竟允许达到3.0Sm。显然高估了筒体对封头的有利约束，从而低估了封头的一次应力。

2

将B处的弯曲应力归入二次应力，将一次结构取为薄膜应力状态的筒体加固支圆板封头。这时是把本来并不存在的刚性固支有利约束人为地强加给平封头，导致封头中一次弯曲应力的严重低估。

三、结论

     有限元法算得的总应力场的分解方案并不是唯一的，存在多种合理的一次应力分解方案。

     约束可分为基本约束，有力约束和不利约束。在计算一次应力时应保留基本约束和有力约束，但必须解除引起二次应力的不利约束。否则最大一次应力就被低估了，对设计来说是不安全的。